Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность функции в точке Непрерывна ли функция в точке
Непрерывность функции в точке.
Функция , определенная в окрестности некоторой точки , называется непрерывной в точке , если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
Тот же факт можно записать иначе:
Если функция определена в некоторой окрестности точки , но не является непрерывной в самой точке , то она называется разрывной функцией, а точка – точкой разрыва.
Пример непрерывной функции:
0 x 0 -D x 0 x 0 +D x
Пример разрывной функции:
Функция называется непрерывной в точке , если для любого положительного числа существует такое число , что для любых , удовлетворяющих условию: верно неравенство .
Функция называется непрерывной в точке , если приращение функции в точке является бесконечно малой величиной.
где – бесконечно малая при .
Свойства непрерывных функций.
1) cумма, разность и произведение непрерывных в точке функций – есть функция, непрерывная в точке ;
2) частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что не равна нулю в точке ;
3) cуперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.
Это свойство может быть записано следующим образом:
Если – непрерывные функции в точке , то функция – тоже непрерывная функция в этой точке.
Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать,
используя теоремы о пределах.
Непрерывность некоторых элементарных функций.
1. Функция , – непрерывная функция на всей области определения.
2. Рациональная функция непрерывна для всех значений , кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна на всей области определения.
3. Тригонометрические функции и непрерывны на своей области определения.
Докажем свойство 3 для функции .
Запишем приращение функции , или после преобразования:
Действительно, имеется предел произведения двух функций и . При этом функция косинус – ограниченная функция при , а т.к. предел функции синус , то она является бесконечно малой при .
Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно, это произведение, т.е. функция – бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными выше определениями, функция – непрерывная функция для любого значения из области определения, т.к. ее приращение в этой точке – бесконечно малая величина.
Точки разрыва и их классификация.
Рассмотрим некоторую функцию , непрерывную в окрестности точки , за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке или не является в ней непрерывной.
Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.
Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной справа.
Точка называется точкой разрыва функции , если не определена в точке или не является непрерывной в этой точке.
Точка называется точкой разрыва 1- го рода , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы:
Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке , достаточно того, что она определена слева и справа от нее.
Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1–го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1–го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.
Точка называется точкой разрыва 2–го рода , если в этой точке функция не имеет хотя бы одного из односторонних пределов, или хотя бы один из них бесконечен.
Пример 1 . Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав (1805-1859) – немецкий математик, член-корреспондент Петербургской АН 1837 г.)
не является непрерывной в любой точке х 0 .
Пример 2 . Функция имеет в точке точку разрыва 2–го рода, т.к. .
Пример 3 .
Функция не определена в точке , но имеет в ней конечный предел , т.е. в точке функция имеет точку разрыва 1–го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:
График этой функции:
Пример 4 .
Эта функция также обозначается – знак . В точке функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1–го рода. Если доопределить функцию в точке , положив , то функция будет непрерывна справа, если положить , то функция будет непрерывной слева, если положить равное какому- либо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет иметь в точке разрыв 1–го рода. В этом примере точка разрыва 1–го рода не является устранимой.
Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1–го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а функция была бы в этой точке не определена.
2.2. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
Функция называется непрерывной на интервале (отрезке) , если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).
При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Свойство 1 . (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897) - немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке выполняется условие:
Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке , ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке , то образуется некоторая окрестность точки .
Свойство 2 . Функция, непрерывная на отрезке , принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
Т.е. существуют такие значения и , что , , причем:
Отметим. что эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например – ).
Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.
Свойство 3 . (Вторая теорема Больцано–Коши). Функция, непрерывная на отрезке , принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.
Свойство 4 . Если функция непрерывна в точке , то существует некоторая окрестность точки , в которой функция сохраняет знак.
Свойство 5 . (Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция - непрерывная на отрезке и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где . и близки к нулю.
в точке функция непрерывна в точке точка разрыва 1–го рода
Определение непрерывности по Гейне
Говорят, что функция действительного переменного \(f\left(x \right)\) является непрерывной в точке \(a \in \mathbb{R}\) (\(\mathbb{R}-\)множество действительных чисел), если для любой последовательности \(\left\{ {{x_n}} \right\}\), такой, что \[\lim\limits_{n \to \infty } {x_n} = a,\] выполняется соотношение \[\lim\limits_{n \to \infty } f\left({{x_n}} \right) = f\left(a \right).\] На практике удобно использовать следующие \(3\) условия непрерывности функции \(f\left(x \right)\) в точке \(x = a\) (которые должны выполняться одновременно):
- Функция \(f\left(x \right)\) определена в точке \(x = a\);
- Предел \(\lim\limits_{x \to a} f\left(x \right)\) существует;
- Выполняется равенство \(\lim\limits_{x \to a} f\left(x \right) = f\left(a \right)\).
Определение непрерывности по Коши (нотация \(\varepsilon - \delta\))
Рассмотрим функцию \(f\left(x \right)\), которая отображает множество действительных чисел \(\mathbb{R}\) на другое подмножество \(B\) действительных чисел. Говорят, что функция \(f\left(x \right)\) является непрерывной в точке \(a \in \mathbb{R}\), если для любого числа \(\varepsilon > 0\) существует число \(\delta > 0\), такое, что для всех \(x \in \mathbb{R}\), удовлетворяющих соотношению \[\left| {x - a} \right| Определение непрерывности в терминах приращений аргумента и функции
Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке \(x = a\), если справедливо равенство \[\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {f\left({a + \Delta x} \right) - f\left(a \right)} \right] = 0,\] где \(\Delta x = x - a\).
Приведенные определения непрерывности функции эквивалентны на множестве действительных чисел.
Функция является непрерывной на данном интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Теоремы непрерывности
Теорема 1.Пусть функция \(f\left(x \right)\) непрерывна в точке \(x = a\) и \(C\) является константой. Тогда функция \(Cf\left(x \right)\) также непрерывна при \(x = a\).
Теорема 2.
Даны две функции \({f\left(x \right)}\) и \({g\left(x \right)}\), непрерывные в точке \(x = a\). Тогда сумма этих функций
\({f\left(x \right)} + {g\left(x \right)}\) также непрерывна в точке \(x = a\).
Теорема 3.
Предположим, что две функции \({f\left(x \right)}\) и \({g\left(x \right)}\) непрерывны в точке \(x = a\). Тогда произведение этих функций
\({f\left(x \right)} {g\left(x \right)}\) также непрерывно в точке \(x = a\).
Теорема 4.
Даны две функции \({f\left(x \right)}\) и \({g\left(x \right)}\), непрерывные при \(x = a\). Тогда отношение этих функций
\(\large\frac{{f\left(x \right)}}{{g\left(x \right)}}\normalsize\) также непрерывно при \(x = a\) при условии, что
\({g\left(a \right)} \ne 0\).
Теорема 5.
Предположим, что функция \({f\left(x \right)}\) является дифференцируемой в точке \(x = a\).
Тогда функция \({f\left(x \right)}\) непрерывна в этой точке (т.е. из дифференцируемости следует непрерывность функции
в точке; обратное − неверно).
Теорема 6 (Теорема о предельном значении).
Если функция \({f\left(x \right)}\) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале \(\left[ {a,b} \right]\),
то она ограничена сверху и снизу на данном интервале. Другими словами, существуют числа \(m\) и \(M\), такие, что
\
для всех \(x\) в интервале \(\left[ {a,b} \right]\) (рисунок 1).
|
||
Рис.1 |
Рис.2 |
Пусть функция \({f\left(x \right)}\) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале \(\left[ {a,b} \right]\). Тогда, если \(c\) − некоторое число, большее \({f\left(a \right)}\) и меньшее \({f\left(b \right)}\), то существует число \({x_0}\), такое, что \ Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 2.
Непрерывность элементарных функций
Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.
Функция называется элементарной
, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций
(с использованием
\(4\) действий - сложение, вычитание, умножение и деление)
.
Множество основных элементарных функций
включает в себя:
Пусть точка a принадлежит области задания функции f(x) и любая ε -окрестность точки a содержит отличные от a точки области задания функции f(x) , т.е. точка a является предельной точкой множества {x} , на котором задана функция f(x) .
Определение . Функция f(x) называется непрерывной в точке a , если функция f(x) имеет в точке a предел и этот предел равен частному значению f(a) функции f(x) в точке a .
Из этого определения имеем следующее условие непрерывности функции f(x) в точке a :
Так как , то мы можем записать
Следовательно, для непрерывной в точке a функции символ предельного перехода и символ f характеристики функции можно менять местами.
Определение . Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке a , если правый (левый) предел этой функции в точке a существует и равен частному значению f(a) функции f(x) в точке a .
Тот факт, что функция f(x) непрерывна в точке a справа записывают так:
А непрерывность функции f(x) в точке a слева записывают как:
Замечание . Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.
Теорема . Пусть на одном и том же множестве заданы функции f(x) и g(x) , непрерывные в точке a . Тогда функции f(x)+g(x) , f(x)-g(x) , f(x) · g(x) и f(x)/g(x) - непрерывны в точке a (в случае частного нужно дополнительно требовать g(a) ≠ 0 ).
Непрерывность основных элементарных функций
1) Степенная функция y=x n при натуральном n непрерывна на всей числовой прямой.
Сначала рассмотрим функцию f(x)=x
. По первому определению предела функции в точке a
возьмем любую последовательность {x n }
, сходящуюся к a
, тогда соответствующая последовательность значений функций {f(x n)=x n }
также будет сходиться к a
, то есть 
, то есть функция f(x)=x
непрерывная в любой точек числовой прямой.
Теперь рассмотрим функцию f(x)=x n , где n - натуральное число, тогда f(x)=x · x · … · x . Перейдем к пределу при x → a , получим , то есть функция f(x)=x n непрерывна на числовой прямой.
2) Показательная функция.
Показательная функция y=a x при a>1 является непрерывной функцией в любой точке бесконечной прямой.
Показательная функция y=a x при a>1 удовлетворяет условиям:
3) Логарифмическая функция.
Логарифмическая функция непрерывна и возрастает на всей полупрямой x>0
при a>1
и непрерывна и убывает на всей полупрямой x>0
при 0
4) Гиперболические функции.
Гиперболическими функциями называются следующие функции:
Из определения гиперболических функции следует, что гиперболический косинус, гиперболический синус и гиперболический тангенс заданы на всей числовой оси, а гиперболический котангенс определен всюду на числовой оси, за исключением точки x=0 .
Гиперболические функции непрерывны в каждой точке области их задания (это следует из непрерывности показательной функции и теоремы об арифметических действиях).
5) Степенная функция
Степенная функция y=x α =a α log a x непрерывна в каждой точке открытой полупрямой x>0 .
6) Тригонометрические функции.
Функции sin x и cos x непрерывны в каждой точке x бесконечной прямой. Функция y=tg x (kπ-π/2,kπ+π/2) , а функция y=ctg x непрерывна на каждом из интервалов ((k-1)π,kπ) (здесь всюду k - любое целое число, т.е. k=0, ±1, ±2, …) .
7) Обратные тригонометрические функции.
Функции y=arcsin x и y=arccos x непрерывны на отрезке [-1, 1] . Функции y=arctg x и y=arcctg x непрерывны на бесконечной прямой.
Два замечательных предела
Теорема . Предел функции (sin x)/x в точке x=0 существует и равен единице, т.е.
Этот предел называется первым замечательным пределом .
Доказательство
. При 0
Эти неравенства справедливы также и для значений x
, удовлетворяющих условиям -π/2
. Так как cos x
- непрерывная функция, то 
. Таким образом, для функций cos x
, 1 и в некоторой δ
-окрестности точки x=0
выполняются все условия теорем. Следовательно, 
.
Теорема
. Предел функции 
при x → ∞
существует и равен числу e
:
Этот предел называется вторым замечательным пределом .
Замечание . Верно также, что
Непрерывность сложной функции
Теорема . Пусть функция x=φ(t) непрерывна в точке a , а функция y=f(x) непрерывна в точке b=φ(a) . Тогда сложная функция y=f[φ(t)]=F(t) непрерывна в точке a .
Пусть x=φ(t) и y=f(x) - простейшие элементарные функции, причем множество значений {x} функции x=φ(t) является областью задания функции y=f(x) . Как мы знаем, элементарные функции непрерывны в каждой точке области задания. Поэтому по предыдущей теореме сложная функция y=f(φ(t)) , то есть суперпозиция двух элементарных функций, непрерывна. Например, функция непрерывна в любой точке x ≠ 0 , как сложная функция от двух элементарных функций x=t -1 и y=sin x . Также функция y=ln sin x непрерывна в любой точке интервалов (2kπ,(2k+1)π) , k ∈ Z (sin x>0 ).
Непрерывность функции в точке
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x0) точки x0 (включая саму точку x0).
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует limx → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке: lim
f(x) = f(x0), (1)
т.е. " O(f(x0)) $ O(x0) : x О O(x0) Ю f(x) О O(f(x0)) .
Замечание. Равенство (1) можно записать в виде: lim
т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.
Пусть Δx = x − x0 - приращение аргумента, Δy = f(x) − f(x0) - соответствующее приращение функции.
Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке
Функция y = f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда
Замечание. Условие (2) можно трактовать как второе определение непрерывности функции в точке. Оба определения эквивалентны.
Пусть функция f(x) определена в полуинтервале .
Функция f(x) называется непрерывной слева в точке x0, если существует односторонний предел lim
Непрерывность суммы, произведения и частного двух непрерывных функций
Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то в этой точке непрерывны f(x) ± g(x), f(x) · g(x), f(x)
Непрерывность сложной функции
Теорема 2. Если функция u(x) непрерывна в точке х0, а функция f(u) непрерывна в соответствующей точке u0 = f(x0), то сложная функция f(u(x)) непрерывна в точке х0.
Все элементарные функции непрерывны в каждой точке их областей определения.
Локальные свойства непрерывных функций
Теорема 3 (ограниченность непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна в точке x0, то существует окрестность O(x0), в которой f(x) ограничена.
Доказательство следует из утверждения об ограниченности функции, имеющей предел.
Теорема 4 (устойчивость знака непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна в точке x0 и f(x0) ≠ 0, то существует окрестность точки x0, в которой f(x) ≠ 0, причем знак f(x) в этой окрестности совпадает со знаком f(x0).
Классификация точек разрыва
Условие (1) непрерывности функции f(x) в точке x0 равносильно условию f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0), (3)
где f(x 0 − 0) = lim
f(x) и f(x0 + 0) = lim
f(x) - односторонние пределы функции f(x) в точке x0.
При нарушении условия (3) точка x0 называется точкой разрыва функции f(x). В зависимости от вида нарушения условия (3) точки разрыва имеют различный характер и классифицируются следующим образом:
1. Если в точке x0 существуют односторонние пределы f(x0 − 0), f (x0 + 0) и
f(x0 − 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0), то точка х0 называется точкой устранимого разрыва функции f(x) (рис. 1).
Замечание. В точке x0 функция может быть не определена.
2. Если в точке x0 существуют односторонние пределы f(x0 − 0), f (x0 + 0) и
f(x0 − 0) ≠ f(x0 + 0), то точка x0 называется точкой разрыва с конечным скачком функции f(x) (рис.2).
Замечание. В точке разрыва с конечным скачком значение функции может быть любым, а может быть и не определено.
Точки устранимого разрыва и конечного скачка называются точками разрыва 1–го рода. Их отличительным признаком является существование конечных односторонних пределов f(x0 − 0) и
3. Если в
точке x0 хотя бы один из
односторонних пределов f(x0
− 0), f (x0 +
0) равен бесконечности или не существует,
то
x0
называется точкой разрыва 2–го рода
(рис. 3).
Если хотя бы один из односторонних пределов f(x0 − 0), f (x0 + 0) равен бесконечности, то прямая x = x 0 называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x).
Определение . Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
Тот же факт можно записать иначе:
Определение . Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.
Определение . Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию
верно неравенство.
Определение . Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.
f(x) = f(x0) + a(x)
где a(х) – бесконечно малая при х®х0.
Свойства непрерывных функций.
1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0.
2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х0.
3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.
Это свойство может быть записано следующим образом:
Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.
Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке выполняется условие –M £ f(x) £ M.
Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х0, ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х0, то образуется некоторая окрестность точки х0.
Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке , принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
Т.е. существуют такие значения х1 и х2, что f(x1) = m, f(x2) = M, причем
Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например – f(x) = sinx).
Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.
Свойство 3: (Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке , принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.
Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х0, то существует некоторая окрестность точки х0, в которой функция сохраняет знак.
Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция f(x)- непрерывная на отрезке и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0.
Т.е. если sign(f(a)) ¹ sign(f(b)), то $ х0: f(x0) = 0.
Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на отрезке , если для любого e>0 существует D>0 такое, что для любых точек х1Î и x2Î таких, что
ïх2 – х1ï< D
верно неравенство ïf(x2) – f(x1)ï < e
Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого e существует свое D, не зависящее от х, а при “обычной” непрерывности D зависит от e и х.
Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.
(Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)
Определение непрерывности
Функция f (x) называется непрерывной в точке a, если: у f () рр
1) функция f(x) определена в точке a,
2) имеет конечный предел при x→ a 2) имеет конечный предел при x→ a,
3) этот предел равен значению функции в этой точке:
Непрерывность на промежутке
Функция f (x) называется непрерывной на промежутке X, если у f () рр ру
Она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Утверждение. Всеэлементарные функции непрерывны в
Области их определения.
Ограниченная функция (bounded function)
Функцияназывается ограниченной наотрезке , если
существуетчисло M такое, что длявсех x ∈ выполняется
неравенство:| f(x)| ≤ M.
Две теоремы Вейерштрасса
ПерваятеоремаВейерштрасса . Если функция f (x р р рр фу f (
непрерывнанаотрезке , тоонаограниченанаэтомотрезке
ВтораятеоремаВейерштрасса. Еслифункция f(x
непрерывнанаотрезке , тоонадостигаетнаэтомотрезк
наименьшегозначения m инаибольшегозначения M.
Теорема Больцано-Коши
Если функция f (x) непрерывнанаотрезке изначенияна фу f () рр р
концахэтогоотрезка f(a) и f(b) имеютпротивоположныезнаки,
товнутриотрезканайдетсяточка c∈ (a,b) такая, что f (c) = 0. ур р () f ()
На этом уроке будем учиться устанавливать непрерывность функции. Будем делать это с помощью пределов, причем односторонних - правого и левого, которые совсем не страшны, несмотря на то что записываются как и .
Но что такое вообще непрерывность функции? Пока мы не дошли до строгого определения, проще всего представить себе линию, которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги. Если такая линия начерчена, то она непрерывна. Эта линия и является графиком непрерывной функции.
Графически функция непрерывна в точке ,
если её график не "разрывается" в этой точке. График такой непрерывной
функции - 
показан на рисунке ниже.
Определение непрерывности функции через предел. Функция является непрерывной в точке при соблюдении трёх условий:
1. Функция определена в точке .
Если хотя бы одно из перечисленных условий не соблюдено, функция не является непрерывной в точке. При этом говорят, что функция терпит разрыв, а точки на графике, в которых график прерывается, называются точками разрыва функции. График такой функции , терпящей разрыв в точке x=2 - на рисунке ниже.
Пример 1. Функция f (x ) определена следующим образом:
Будет ли эта функция непрерывной в каждой из граничных точек её ветвей, то есть в точках x = 0 , x = 1 , x = 3 ?
Решение. Проверяем все три условия непрерывности функции в каждой граничной точке. Первое условие соблюдается, так как то, что функция определена в каждой из граничных точек, следует из определения функции. Осталось проверить остальные два условия.
Точка x = 0 . Найдём левосторонний предел в этой точке:
.
Найдём правосторонний предел:
x = 0 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:
Как видим, предел функции и значение функции в точке x = 0 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 0 .
Точка x = 1 . Найдём левосторонний предел в этой точке:
Найдём правосторонний предел:
Предел функции и значение функции в точке x = 1 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:
.
Предел функции и значение функции в точке x = 1 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 1 .
Точка x = 3 . Найдём левосторонний предел в этой точке:
Найдём правосторонний предел:
Предел функции и значение функции в точке x = 3 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:
.
Предел функции и значение функции в точке x = 3 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 3 .
Основной вывод: данная функция является непрерывной в каждой граничной точке.
Установить непрерывность функции в точке самостоятельно, а затем посмотреть решение
Непрерывное изменение функции можно определить как изменение постепенное, без скачков, при котором малое изменение аргумента влечёт малое изменение функции .
Проиллюстрируем это непрерывное изменение функции на примере.
Пусть над столом висит на нитке груз. Под действием этого груза нитка растягивается, поэтому расстояние l груза от точки подвеса нити является функцией массы груза m , то есть l = f (m ) , m ≥0 .
Если немного изменить массу груза, то расстояние l изменится мало: малым изменениям m соответствуют малые изменения l . Однако если масса груза близка к пределу прочности нити, то небольшое увеличение массы груза может вызвать разрыв нити: расстояние l скачкообразно увеличится и станет равным расстоянию от точки подвеса до поверхности стола. График функции l = f (m ) изображён на рисунке. На участке этот график является непрерывной (сплошной) линией, а в точке он прерывается. В результате получается график, состоящий из двух ветвей. Во всех точках, кроме , функция l = f (m ) непрерывна, а в точке она имеет разрыв.
Исследование функции на непрерывность может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графика .
Непрерывность функции на промежутке
Пусть функция y = f (x ) определена в интервале ]a , b [ и непрерывна в каждой точке этого интервала. Тогда она называется непрерывной в интервале ]a , b [ . Аналогично определяется понятие непрерывности функции на промежутках вида ]- ∞, b [ , ]a , + ∞[ , ]- ∞, + ∞[ . Пусть теперь функция y = f (x ) определена на отрезке [a , b ] . Разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок. Здесь следует упомянуть о так называемой односторонней непрерывности: в точке a , оставаясь на отрезке [a , b ] , мы можем приближаться только справа, а к точке b - только слева. Функция называется непрерывной на отрезке [a , b ] , если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b .
Примером непрерывной функции может служить любая из элементарных функций. Каждая элементарная функция непрерывна на любом отрезке, на котором она определена. Например, функции и непрерывны на любом отрезке [a , b ] , функция непрерывна на отрезке [0 , b ] , функция непрерывна на любом отрезке, не содержащем точку a = 2 .
Пример 4. Исследовать функцию на непрерывность.
Решение. Проверяем первое условие. Функция не определена в точках - 3 и 3. По меньшей мере одно из условий непрерывности функции на всей числовой прямой не выполняется. Поэтому данная функция является непрерывной на интервалах
.Пример 5.
Определить, при каком значении
параметра a
непрерывна на всей области определения
функция
Решение.
Найдём правосторонний предел при :
.
Очевидно, что значение в точке x = 2 должно быть равно ax :
a = 1,5 .
Пример 6.
Определить, при каких значениях
параметров a
и b
непрерывна на всей области определения
функция
Решение.
Найдём левосторонний предел функции в точке :
.
Следовательно, значение в точке должно быть равно 1:
Найдём левосторонний функции в точке :
Очевидно, что значение функции в точке должно быть равно :
Ответ: функция непрерывна на всей области определения при a = 1; b = -3 .
Основные свойства непрерывных функций
К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время бесконечны, и зависимость, например, пути s от времени t , выраженная законом s = f (t ) , даёт пример непрерывной функции f (t ) . Непрерывно изменяется и температура нагреваемой воды, она также является непрерывной функцией от времени: T = f (t ) .
В математическом анализе доказаны некоторые свойства, которыми обладают непрерывные функции. Приведём важнейшие из этих свойств.
1. Если непрерывная на интервале функция принимает на концах интервала значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю. В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как первая теорема Больцано-Коши.
2. Функция f (x ) , непрерывная на интервале [a , b ] , принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках, то есть, между f (a ) и f (b ) . В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как вторая теорема Больцано-Коши.
