Огибающая сигнала. Физическая огибающая, полная фаза и мгновенная частота узкополосного сигнала
Ниже будет описан еще один способ комплексного представления сигналов, часто применяемый в теоретических исследованиях. Замечательная особенность данного способа состоит в том, что он позволяет вводить понятия огибающей и мгновенной частоты сигнала без той степени неопределенности, которая свойственна методу комплексной огибающей.
Аналитический сигнал. Формула Эйлера
представляющая гармоническое колебание в виде суммы даух комплексно-сопряженных функций, наводит на мысль о том, что произвольный сигнал s(t) с известной спектральной плотностью можно записать как сумму двух составляющих, каждая из которых содержит или только положительные, или только отрицательные частоты
Назовем функцию
аналитическим сигналом, отвечающим вещественному колебанию s(t). Первый из интегралов в правой части формулы (5,37) путем замены переменной преобразуется к виду
Поэтому формула (5.37) устанавливает связь между сигналами или
Мнимая часть аналитического сигнала
называется сопряженным сигналом по отношению к исходному колебанию s(t). Итак, аналитический сигнал
на комплексной плоскости отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось в любой момент времени равна исходному сигналу s(t).
Введение аналитического и сопряженного сигналов, безусловно, не позволяет подучить каких-либо новых сведений, которые не содержались бы в математической модели сигнала s(t). Однако эти новые понятия открывают прямой путь к созданию систематических методов исследования узкополосных колебаний.
На конкретном примере покажем способ вычисления аналитического сигнала по известному спектру исходного сигнала.
Пример 5.6. Пусть - идеальный низкочастотный сигнал с известными параметрами (см. § 5.1).
В этом случае аналитический сигнал
Выделяя вещественную и мнимую части, получаем
Графики этих двух сигналов приведены на рис. 6,3.
Рис. 5.3. Исходный и сопряженный сигналы: 1 - идеальный низкочастотный сигнал; 2 - сопряженный с ним сигнал
Спектральная плотность аналитического сигнала.
Исследуем спектральную плотность аналитического сигнала, т. е. функцию связанную с -преобразованием Фурье:
На основании формулы (5.38) можно утверждать, что эта функция отлична от нуля лишь в области положительных частот:
Если - спектральная плотность сопряженного сигнала, то в силу линейности преобразования Фурье
Поэтому равенство (5.42) будет выполняться только в случае, когда спектральные плотности исходного и сопряженного сигналов связаны между собой следующим образом:
Абстрактно можно представить себе такой способ получения сопряженного сигнала: исходное колебание подается на вход некоторой системы, которая осуществляет поворот фаз всех спектральных составляющих на угол -90° в области положительных частот и на угол 90° в области отрицательных частот, не изменяя их по амплитуде. Систему, обладающую подобными свойствами, называют квадратурным фильтром.
Преобразование Гильберта.
Формула (5.44) показывает, что спектральная плотность сопряженного сигнала есть произведение спектра исходного сигнала и функции - . Поэтому сопряженный сигнал представляет собой свертку даух функций: , которая является обратным преобразованием Фурье по отношению к функции .
Для удобства вычислений представим эту функцию в виде предела:
Таким образом, сопряженный сигнал связан с исходным сигналом соотношением
Можно поступить и по-иному, выразив сигнал через который полагается известным. Для этого достаточно заметить, что из (5.44) вытекает следующая связь между спектральными плотностями:
Поэтому соответствующая формула будет отличаться от (5.45) лишь знаком:
Формулы (5.45) и (5.46) известны в математике под названием прямого и обратного преобразований Гильберта.
Символическая запись их такова:
Поскольку функция называемая ядром этих преобразований, имеет разрыв при интегралы (5.45) и (5.46) следует понимать в смысле главного значения. Например:
Некоторые свойства преобразований Гильберта.
Простейшее свойство этих интегральных преобразований - их линейность:
при любых постоянных в чем можно убедиться непосредственно.
Ядро преобразования Гильберта есть нечетная функций аргумента относительно точки а, значит, сигнал, сопряженный к константе, тождественно равен нулю:
Важное свойство преобразования Гильберта состоит в следующем: если при каком-либо t исходный сигнал s(t) достигает экстремума (максимума или минимума), то в окрестности этой точки сопряженный сигнал проходит через нуль. Чтобы убедиться в этом, нужно на одном чертеже совместить графики s(t) и ядра . Пусть значение t близко к тому при котором функция экстремальна. Поскольку сигнал является здесь четной функцией, а ядро нечетной, будет наблюдаться компенсация площадей фигур, ограниченных горизонтальной осью и кривой, которая описывает подынтегральную функцию преобразования Гильберта. Образно говоря, если исходный сигнал изменяется во времени «подобно косинусу», то сопряженный с ним сигнал будет изменяться «подобно синусу».
Отметим, что преобразования Гильберта имеют нелокальный характер: подведение сопряженного сигнала в окрестности какой-либо точки зависит от свойств исходного сигнала на всей оси времени, хотя наибольший вклад дает, конечно, достаточно близкая окрестность рассматриваемой точки.
Преобразования Гильберта для гармонических сигналов.
Вычислим сигналы, сопряженные с гармоническими колебаниями и Результаты можно получить непосредственно из формулы (5.45). Однако проще поступить таким образом. Пусть некоторый произвольный сигнал задан своим Фурье-представлением:
На основании соотношения (5.44) находим аналогичное представление сопряженного сигнала:
Рассматривая формулы (5.48) и (5.49) совместно, находим следующие законы преобразования Гильберта:
Преобразование Гильберта для узкополосного сигнала
Пусть известна функция - спектральная плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала s(t) с опорной частотой . Согласно формуле (5.36), спектр данного сигнала
Первое слагаемое в правой части соответствует области частот второе - Тогда на основании формулы (5.44) спектр сопряженного сигнала
откуда видно, что спектральная плотность комплексной огибающей сопряженного сигнала
Итак, сопряженный сигнал в данном случае также является узкополосным. Если комплексная огибающая исходного сигнала
то в соответствии с равенством (5.53) комплексная огибающая сопряженного сигнала
отличается от комплексной сгибающей исходного колебания лишь наличием постоянного фазового сдвига на 90° в сторону запаздывания.
Отсюда следует, что узкополосному сигналу
соответствует сопряженный по Гильберту сигнал
Вычисление огибающей, полной фазы и мгновенной частоты.
В рамках метода преобразований Гильберта огибающая произвольного сигнала определяется как модуль соответствующего аналитического сигнала:
Целесообразность такого определения можно проверить на примере узкополосного сигнала. Используя формулы (5.54) и (5.55), находим, что огибающая такого сигнала
В § 5.3 данная формула была получена из других соображений.
По определению, полная фаза любого сигнала равна аргументу аналитического сигнала
(5-57)
Наконец, мгновенная частота сигнала есть производная полной фазы по времени:
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие вычисление указанных характеристик узкополосных сигналов.
Пример 5.7. Дано простое гармоническое колебание
В этом случае сопряженный сигнал Огибающая исходного сигнала
естественно, не зависит от времени и равна его амплитуде.
Полная фаза и, наконец, мгновенная частота Данный пример показывает, что определение огибающей, полной фазы и мгновенной частоты через преобразование Гильберта приводит к результатам, согласующимся с обычными представлениями о свойствах гармонических колебаний.
- (изменение амплитуды звукового сигнала при постоянной частоте) важная характеристика звука, издаваемого музыкальными инструментами, являющаяся определяющей для «опознания» музыкального инструмента. На огибающей выделяют четыре основных участка: 1 … Википедия
огибающая амплитудно-модулированного сигнала - EN envelope of an amplitude modulated signal upper and lower boundary lines of the area which is swept by the carrier wave when plotted against time while the phase of the modulating signal is varied continuously through… …
огибающая модулированного сигнала - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN modulation envelope … Справочник технического переводчика
огибающая телевизионного сигнала - televizinio signalo gaubtinė statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. television waveform vok. Fernsehwellenform, f rus. огибающая телевизионного сигнала, f pranc. forme d onde de télévision, f … Radioelektronikos terminų žodynas
ADSR огибающая функция, описывающая изменения какого либо параметра во времени, используемая в синтезаторах звука. Как правило используется для описания изменений частоты среза фильтра и громкости. Реже для описания изменений высоты тона,… … Википедия
EMD (англ. Empirical Mode Decomposition) метод разложения сигналов на функции, которые получили название «эмпирических мод». Метод EMD представляет собой итерационную вычислительную процедуру, в результате которой исходные данные… … Википедия
Технологии модуляции п·Аналоговая модуляция AM · SSB · ЧМ(FM) · ЛЧМ · ФМ(PM) · СКМ Цифровая модуляция АМн … Википедия
Графическое изображение меняющихся по закону синуса (косинуса) величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков векторов. Векторные диаграммы широко применяются в электротехнике, акустике, оптике, теории колебаний и так далее.… … Википедия
I речевая деятельность, общение, опосредствованное Языком, один из видов коммуникативной (см. Коммуникация) деятельности человека. Р. возникла в коллективе как средство координации совместной трудовой деятельности и как одна из форм… … Большая советская энциклопедия
ГОСТ Р 53567-2009: Акустика. Методы описания и измерения единичного импульса или последовательностей импульсов - Терминология ГОСТ Р 53567 2009: Акустика. Методы описания и измерения единичного импульса или последовательностей импульсов оригинал документа: 3.1.2 В длительность импульса (В длительность) (B duration), с: Суммарное время, в течение которого… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Подобные документы
Метод выделения огибающей АМ-сигнала при помощи преобразования Гильберта. Эквивалентная схема программного алгоритма. Способы выделения амплитудного огибающего сигнала. Синтез АМ-сигнала с несущей и боковыми частотами. Формирователь амплитудной огибающей.
курсовая работа , добавлен 23.06.2009
Спектральные характеристики периодических и не периодических сигналов. Импульсная характеристика линейных цепей. Расчет прохождения сигналов через линейные цепи спектральным и временным методом. Моделирование в средах MATLAB и Electronics Workbench.
лабораторная работа , добавлен 23.11.2014
Использование спектра в представлении звуков, радио и телевещании, в физике света, в обработке любых сигналов независимо от физической природы их возникновения. Спектральный анализ, основанный на классических рядах Фурье. Примеры периодических сигналов.
курсовая работа , добавлен 10.01.2017
Спектральный анализ периодического и непериодического управляющих сигналов. Особенности поинтервального описания входного сигнала. Расчет прохождения периодических и непериодических сигналов через линейные электрические цепи первого и второго порядков.
контрольная работа , добавлен 07.03.2010
Принцип работы системы сотовой связи с кодовым разделением каналов. Использование согласованных фильтров для демодуляции сложных сигналов. Определение базы широкополосных сигналов и ее влияние на допустимое число одновременно работающих радиостанций.
реферат , добавлен 12.12.2010
Сигналы и их характеристики. Линейная дискретная обработка, ее сущность. Построение графиков для периодических сигналов. Расчет энергии и средней мощности сигналов. Определение корреляционных функций сигналов и построение соответствующих диаграмм.
курсовая работа , добавлен 16.01.2015
Моделирование функций заданных математическим выражением и объектов, описанных дифференциальными уравнениями. Параметры блока "Генератор импульсов". Построение графиков для каждой модели периодических сигналов с различными временными интервалами.
курсовая работа , добавлен 19.12.2016
Достоинства цифровой обработки сигнала. Выбор частоты дискретизации. Расчет импульсной характеристики. Определение коэффициента передачи. Описание работы преобразователя Гильберта. Выбор микросхем и описание их функций. Требования к источнику питания.
дипломная работа , добавлен 26.10.2011
Министерство образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Механико-математический
факультет.
Кафедра программирования.
РЕФЕРАТ
Огибающая сигнала.
группа
7126
Научный руководитель Куликов А.И. __________
Новосибирск 2009 г.
Содержание:
- Введение.
- Обработка сигналов.
- Нахождение огибающей сигнала.
- Применение огибающей.
- Заключение.
- Список использованных источников.
1. Введение.
Число средств передачи информации непрерывно возрастает. Одним из путей эффективного использования радиочастотного ресурса является сжатие спектра передаваемых сигналов, занимающих значительную долю сигналов.
Несмотря на то, что проблема компандирования (сжатие – восстановление спектра речевых сигналов при их обработке на основе математической модели модуляционной теории) спектра речевых сигналов (РС) на сегодняшний день достаточно успешно решается средствами статистической теории, поиск решений данной проблемы на базе альтернативных теоретических представлений не только не потерял своей актуальности, но и приобрел еще большую остроту с развитием телекоммуникационных технологий, что объясняется ограниченными возможностями известных методов при возрастающей потребности.
Разработка новых эффективных способов компандирования спектра РС является актуальной, прежде всего, для систем радиосвязи, в том числе специализированных систем подвижной радиосвязи. Также это актуально для систем записи и хранения больших массивов речевой информации.
Также одной из важнейших задач систем радиомониторинга является
определение факта присутствия одного или нескольких сигналов в
анализируемой полосе частот. При этом определяются различные временные
характеристики огибающей сигнала.
2.Обработка сигналов.
Основой исследования сигналов является спектральный анализ. Понятие спектрального анализа является довольно широким. Оно применимо к рассмотрению любых функций в виде обобщенного ряда Фурье. При анализе сигналов обычно используется преобразование или ряд Фурье, позволяющие перевести анализ в частотную область. Сигнал рассматривается как бесконечная или конечная совокупность гармонических составляющих.
Спектральный
анализ непериодических сигналов основан
на использовании преобразования Фурье.
Прямое и обратное преобразования Фурье
устанавливают взаимно однозначное
соответствие между сигналом
(временной функцией, описывающей сигнал
s(t)
) и его спектральной плотностью:
,
.
(2.1)
Функция
в общем случае является комплексной
(2.2)
где Re, Im - действительная и мнимая части комплексной величины;
Модуль и аргумент комплексной величины.
.
(2.3)
Модуль спектральной плотности сигнала описывает распределение амплитуд гармонических составляющих по частоте, называется амплитудным спектром. Аргумент дает распределение фазы по частоте, называется фазовым спектром сигнала.
Формирование огибающей сигнала во времени является наиболее эффективным способом выделения модулирующей компоненты в тех случаях, когда спектральный состав модулирующей и несущей компонент различен и не пересекается в частотной области, т.е. частотная область несущей много выше частотной области модулирующей компоненты.
Удобства огибающей:
- сохранение в огибающей информации о форме сигнала, основных его пиках;
- возможность сокращения объёма информации при переходе к огибающим за счет локального осреднения;
- использование огибающих в качестве шаблонов.
Поэтому применение огибающей сигнала нашло широкое применение в различных сферах деятельности.
На первых этапах развития вибрационной диагностики спектральный анализ огибающей вибрации использовался для определения частот и амплитуд гармонических составляющих, имеющих близкие частоты, не позволяющие разделить эти составляющие в спектре сигнала вибрации из-за ограниченной разрешающей способности анализаторов.
С появлением цифровых спектральных анализаторов, обладающих высокой разрешающей способностью по частоте, диагносты стали отказываться от анализа спектров огибающей тех мультипликативных компонент вибрации, в которых обе компоненты являются строго периодическими. На практике такой вид анализа еще иногда используется при диагностике подшипников качения насосов и других потокосоздающих машин, с целью обнаружения модуляции наиболее сильных составляющих вибрации на гармониках частоты вращения рабочего колеса более низкими модулирующими частотами, например частотой вращения сепаратора. Основанием является то, что в низкочастотной вибрации машин подобного типа присутствуют значительные случайные компоненты, затрудняющие обнаружение в спектре слабых боковых составляющих у вибрации на частоте вращения ротора.
Также на сегодняшний день очень остро стоит проблема сжатия спектра РС. Обоснована необходимость продолжения развития модуляционной теории звуковых сигналов, изучающей свойства натуральных акустических сигналов. Обоснована необходимость сжатия спектра речевых сигналов для повышения эффективности использования частотного ресурса каналов передачи речи. Показано развитие и современное состояние решения проблемы компандирования спектра РС с целью их трансляции по каналам связи. Приведены зависимости качества речи от степени компрессии спектра РС наиболее популярными современными методами.
Сжатие спектра РС возможно за счет уменьшения их статистической и психоакустической избыточностей. В современных системах радиотелефонии с целью сжатия спектра речевых сигналов наиболее широкое применение нашли гибридные вокодеры, уменьшающие как психоакустическую, так и статистическую избыточности. Достаточно низкое качество получаемой речи при сравнительно невысокой степени сжатия ее спектра современными методами обосновывает необходимость поиска новых путей эффективного решения данной проблемы на базе альтернативных теоретических представлений.
3.Нахождение огибающей сигнала.
При математическом анализе огибающей сигнала очень часто вместо вещественных сигналов с целью упрощения математического аппарата преобразования данных удобно использовать эквивалентное комплексное представление сигналов.
В общем случае, произвольный динамический сигнал s(t), заданный на определенном участке временной оси (как конечном, так и бесконечном) имеет комплексную двустороннюю спектральную плотность S(ω). При раздельном обратном преобразовании Фурье реальной и мнимой части спектра S(ω) сигнал s(t) разделяется на четную и нечетную составляющие, которые являются двусторонними относительно t = 0, и суммирование которых полностью восстанавливает исходный сигнал. На рис. 2 приведен пример сигнала (А), его комплексного спектра (В) и получения четной и нечетной части сигнала из реальной и мнимой части спектра (С).
Рис. 3.1. Сигнал, спектральная плотность сигнала, четная и нечетная составляющие.
Также можно выполнить обратное преобразование Фурье и в другой форме - раздельно для положительных и отрицательных частот спектра:
s(t) = S(ω)·exp(jωt) dω + S(ω)·exp(jωt)dω (3.1)
Информация в комплексном спектре сигнала является избыточной. В силу комплексной сопряженности полную информацию о сигнале s(t) содержит как левая (отрицательные частоты), так и правая (положительные частоты) часть спектра S(ω). Аналитическим сигналом, отображающим вещественный сигнал s(t), называют второй интеграл выражения (3.1), нормированный на π, т.е. обратное преобразование Фурье спектра сигнала s(t) только по положительным частотам:
z s (t) = (1/π) S(ω) exp(jωt). (3.2)
Дуальность свойств преобразования Фурье определяет, что аналитический сигнал z s (t), полученный из односторонней спектральной функции, всегда является комплексным и может быть представлен в виде:
z s (t) = Re z(t) + j·Im z(t). (3.2")
Аналогичное преобразование первого интеграла выражения (3.1) дает сигнал z s *(t), комплексно сопряженный с сигналом z(t):
z s *(t) = Re z(t) - j·Im z(t),
что наглядно видно на рис. 3.2 при восстановлении сигналов по односторонним частям спектра, приведенного на рис. 2-В.
Рис. 3.2. Сигналы z(t) и z*(t).
По рисунку 3.2 можно видеть, что при сложении функций z s (t) и z s *(t) мнимые части функций взаимно компенсируются, а вещественные части, с учетом нормировки только на π, а не на 2π, как в (3.1), в сумме дают полный исходный сигнал s(t):
/2 = Re z(t) = =
= (1/2π) S(ω) cos ωt dt = s(t).
Отсюда следует, что реальная часть аналитического сигнала z s (t) равна самому сигналу s(t).
Для выявления характера мнимой части сигнала z s (t) выполним перевод всех членов функции (3.2") в спектральную область с раздельным представлением по положительным и отрицательным частотам (индексами – и +) реальных и мнимых частей спектра:
Z s (ω) = A - (ω) + A + (ω) + jB - (ω) + jB + (ω) + j ,
где индексами A" и B" обозначены функции преобразования Im(z(t)). В этом выражении функции в левой части спектра (по отрицательным частотам) должны взаимно компенсировать друг друга согласно определению аналитического сигнала (3.2), т.е.:
B" - (ω) = A - (ω), A" - (ω) = -B - (ω).
Отсюда, с учетом четности вещественных A" - (ω) и нечетности мнимых B" - (ω) функций спектра, следуют также равенства:
B" + (ω) = - A + (ω), A" + (ω) = B + (ω).
Но эти четыре равенства есть не что иное, как преобразование Гильберта в частотной области спектра функции Re z(t) Û A(ω)+jB(ω) в спектр функции A"(ω)+jB"(ω) Û Im z(t) умножением на сигнатурную функцию -j × sgn(ω). Следовательно, мнимая часть аналитического сигнала z s (t) является аналитически сопряженной с его действительной частью Re z(t) = s(t) через преобразование Гильберта. Эта часть аналитического сигнала получила название квадратурного дополнения сигнала s(t):
Im z(t) = = TH = s(t) * hb(t), (3.3)
hb(t) = 1/(πt),
z s (t) = s(t) + j × . (3.4)
где индексом обозначен сигнал, аналитически сопряженный с сигналом s(t), hb(t) – оператор Гильберта.
